集合知识点
集合知识点
前言
相关概念
- 元素与集合
1、集合元素的性质：确定性、互异性比如对方程\(x^2\)\(-\)\(2x\)\(+\)\(1\)\(=0\)而言，在初中我们认为有两个相同解，而不认为只有一个解；如果其解集用集合刻画，则必须写成\(\{1\}\)，是个单元素集合，而不能写成\(\{1,1\}\)；、无序性
2、集合与元素的关系：\(a\in\{a\}\)，\(b\notin\{a\}\)，
3、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法；数集的表示方法还要添加字母法、区间法。
注意区分\(\varnothing\)、\(\{0\}\)、\(\{\varnothing\}\)，其中集合\(\{0\}\)、\(\{\varnothing\}\)都是单元素集合，\(\varnothing\)里面没有一个元素。
以下写法都是对的：\(\varnothing\in\{\varnothing\}\)，空集是以空集为元素的集合的元素，在特定条件下是成立的；
\(\varnothing\subseteq\{\varnothing\}\)，空集是任何集合的子集；\(\varnothing\subsetneqq\{\varnothing\}\)，空集是任何非空集合的真子集；
4、常见数集的字母表示及其关系：\(N^*(N_+)\subsetneqq N\subsetneqq Z \subsetneqq Q \subsetneqq R \subsetneqq C\)
- 集合关系
子集：\(x\in A\Rightarrow x\in B\)，则\(A\subseteq B\)。
真子集：\(A\subseteq B，\exists x\in B，x\notin A\)，则\(A \subsetneqq B\)
相等：\(A\subseteq B，B\subseteq A\Longleftrightarrow A=B\)
空集：\(\forall x\notin \varnothing，\varnothing\subseteq A\)
- 集合运算
交集：\(\{x\mid x\in A且x\in B\}\)；
并集：\(\{x\mid x\in A或x\in B\}\)；
补集：\(\{x\mid x\in U且x\notin A\}=\complement_UA\)；
- 集合性质
并集的性质：\(A\cup\varnothing=A\);\(A\cup A=A\);\(A\cup B=B\cup A\);\(A\subseteq B\Longleftrightarrow A\cup B=B\)；
交集的性质：\(A\cap\varnothing=\varnothing\);\(A\cap A=A\);\(A\cap B=B\cap A\);\(B\subseteq A\Longleftrightarrow A\cap B=B\)；
补集的性质：\(A\cup(\complement_UA)=U\)；\(A\cap(\complement_UA)=\varnothing\)；\(\complement_U(\complement_UA)=A\)；\(\complement_U(A\cup B)=(\complement_UA)\cap(\complement_UB)\)；\(\complement_U(A\cap B)=(\complement_UA)\cup(\complement_UB)\)；
- 集合分类
我们根据集合的元素的特点，将其分为数集、点集、式集、图形集、向量集等等，这样我们在区分集合时就变得很容易；比如，
集合\(A=\{ x\mid y=x^2+3x-2\}\)，实质是数集，就是函数\(y=x^2+3x-2\)的定义域；
集合\(B=\{y\mid y=x^2+3x-2\}\)，实质是数集，就是函数\(y=x^2+3x-2\)的值域；
集合\(C=\{(x，y)\mid y=x^2+3x-2\}\)，实质是点集区分点集和数集，主要看代表元素，若是数\(\;x\;\)[往往对应方程的根，不等式的解集，或函数的定义域]或\(\;y\;\)[往往对应值域]则为数集，若是有序数对则为点集；\(\quad\)，就是函数\(y=x^2+3x-2\)图像上的所有点构成的点集合；此时如果求\(A\cap C=\varnothing\)；
集合\(D=\{x^2，x^2+2y-1，t^3+1\}\)，实质是代数式集合，简称式集；
集合\(E=\{\)三角形\(\}\)，实质是图形集合；
集合\(F=\{\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}，\vec{d}\}\)，实质是向量集合；
当然，集合还可以根据其元素的有限与无限分为有限集和无限集。
- 注意区别刻画集合的描述法和列举法
集合\(A=\{x\in N\mid x\leq \sqrt{10}\}\)，这是用描述法表达的，当然还可以简化为用列举法表示，比如\(A\)\(=\)\(\{x\)\(\mid\)\(x\)\(=\)\(0\)\(，\)\(1\)\(，\)\(2\)\(，\)\(3\)\(\}\)，这时候我们甚至可以写的更简单，比如\(A=\{0，1，2，3\}\)。
常用结论
- 含有\(n\)个元素的集合\(\{a_1，a_2，\cdots，a_n\}\)，其所有的子集个数有\(2^n\)个。
解释：从含有\(n\)个元素的集合中分别取\(0\)、\(1\)、\(2\)、\(\cdots\)、\(n\)个元素，则构成的集合的子集的个数分别为\(C_n^0\)、\(C_n^1\)、\(C_n^2\)、\(\cdots\)、\(C_n^n\)个，故所有的子集的个数有\(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n=2^n\)；
所有的真子集个数有\(2^n-1\)个，即去掉\(C_n^n\)的那一个；所有的非空子集个数有\(2^n-1\)个。即去掉\(C_n^0\)的那一个；所有的非空真子集个数有\(2^n-2\)个。即去掉\(C_n^0=1\)和\(C_n^n=1\)那两个。
- 二项式定理\((a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+\cdots+C_n^ka^{n-k}b^k+\cdots+C_n^na^0b^n\)；
当令\(a=b=1\)时，上式即为\(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n=(1+1)^n=2^n\)；
分析：由题意可知，集合 \(A=\{1，2\}\)，集合 \(B=\{1，2，3，4，5\}\)，又由于 \(A\subseteq M\subseteq B\)，
则集合\(M\)的元素最少有两个，应该是用元素\(1\)，\(2\)保底，在此基础上，再从\(3\)，\(4\)，\(5\)三个元素中选取部分元素添加进去即可，
添加的元素最少应该是\(0\)个，最多是三个，故本题目等价于集合\(\{3，4，5\}\)的所有子集的个数\(C_3^0\)\(+\)\(C_3^1\)\(+\)\(C_3^2\)\(+\)\(C_3^3\)，故应该是\(2^3=8\)个；
为便于理解，列举如下：\(\{1，2\}\)、\(\{1，2，3\}\)、\(\{1，2，4\}\)、\(\{1，2，5\}\)、\(\{1，2，3，4\}\)、\(\{1，2，3，5\}\)、\(\{1，2，4，5\}\)、\(\{1，2，3，4，5\}\)；
解后反思：注意符号语言 \(A\subseteq M\subseteq B\) 向文字语言的转化。
自定义概念
集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，由于其左右端点是固定不变化的，故我们可以形象的称其为定集；集合\(B\)\(=\)\(\{\)\(x\)\(\mid\)\(m+1\)\(<\)\(x\)\(<\)\(2m-1\)\(\}\)，其左右端点是随着\(m\)的取值变化的，故我们可以形象的称其为动集；这样两个集合的关系就可能随着\(m\)的取值发生变化。
仿二次方程：比如\(ax^2+3x-2=0\)，由于题目没有告诉\(a\)的取值，那么它就可能是一次方程\(3x-2=0\)，也可能是二次方程\(ax^2+3x-2=0(a\neq 0)\)，故当我们看到仿二次方程时，我们就应该想到分类讨论，由于思维定势的缘故，最容易漏掉\(a=0\)的情形；
以此类推，\(y=ax^2+3x-2\)就是仿二次函数，包含了一次函数和二次函数两种情形；\(ax^2+3x-2\ge 0\)就是仿二次不等式，包含了一次不等式和二次不等式两种情形；很显然题目中出现这个就是想看看，你的思维是否严密。
分析：由于\(ax^2+2x+1=0\)，\(a\in R\)，则所给的方程为仿二次方程，故需要针对\(a\)分类讨论，
①当\(a=0\)时，方程变化为\(2x+1=0\)，则解集为单元素集合\(\{-\cfrac{1}{2}\}\)，满足题意；
②当\(a\neq 0\)时，方程\(ax^2+2x+1=0\)为二次方程，又要求其解集为单元素集合，则必须\(\Delta=0\)，即\(2^2\)\(-\)\(4a\)\(=\)\(0\)，即\(a=1\)，此时方程变为\(x^2\)\(+\)\(2x\)\(+\)\(1\)\(=0\)，解集为单元素集合\(\{-1\}\)；
加深认识
重新认识集合的作用和地位，主动使用集合工具刻画数学素材
用集合工具来刻画点集
直线比如\(\{(x，y)\mid 2x-y+1=0\}\)；曲线比如\(\{(x，y)\mid x^2+y^2=4\}=\{(2cos\theta，2sin\theta)\}\)；
比如\(\{(x，y)\mid \cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\}=\{(3cos\theta，2sin\theta)\}\)；
交点比如\(\{(x，y)\mid \begin{cases} 2x+y-1=0\\ 3x-y+2=0\end{cases} \}\)；平面区域比如\(\left\{(x，y)\mid \begin{cases}x^2+y^2\leq 4\\ x\ge 0\\ y\ge0\end{cases}\right\}\)；
用集合工具来刻画函数的性质
定义域比如\(\{x\mid y=x^2-3x-2\}=R\)；
值域比如\(\{y\mid y=x^2+2\}=[2，+\infty)\)；
单调性比如函数\(y=f(x)\)上的任意两个点\((x_1，y_1)\)、\((x_2，y_2)\)满足条件，若\(x_1>x_2\)，则必有\(y_1>y_2\)，也即意味着函数是单调递增的；也就是当\(x_1>x_2\)时，有\(f(x_1)>f(x_2)\)成立；
奇偶性比如函数\(y=f(x)\)上的任意两个点\((x_1，y_1)\)、\((x_2，y_2)\)满足条件，若\(x_1+x_2=0\)，则必有\(y_1=y_2\)，也即意味着函数是偶函数；也就是满足\(f(-x)=f(x)\)；
对称性比如函数\(y=f(x)\)上的任意两个点\((x_1，y_1)、(x_2，y_2)\)满足条件，若\(x_1+x_2=2\)，则必有\(y_1+y_2=2\)，也即意味着函数是关于点\((1，1)\)对称的；也就是满足\(f(2-x)+f(x)=2\)；
用集合工具来刻画数集
方程的根比如\(\{x\mid x^2-3x+2=0\}=\{1，2\}\)；
不等式的解集比如\(\{x\mid x^2-3x+2\leq 0\}=[1，2]\)；
用集合工具来表示其他的集合
无理数集合比如\(\complement_RQ\)；
集合的并集\(\{x\mid x=2k，k\in Z\}\cup\{x\mid x=2k+1，k\in Z\}=Z\)
角的集合的并集\(\{x\mid x=2k\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}\cup\{x\mid x=(2k+1)\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}=\{x\mid x=k\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}\)
题型方法
1、利用集合之间的关系求参数的取值时，解题后要进行检验，防止不满足集合元素的确定性和互异性；
分析：①当\(a^2-a-1=-1\)时，即\(a^2-a=0\)，解得\(a=0\)或\(a=1\)；
当\(a=1\)时，\(\{2,a^2-a-1,a^2+1\}=\{2,-1,2\}\)，与元素的互异性矛盾，舍去；故\(a=0\)
②当\(a^2+1=-1\)时，\(a^2=-2\)，\(a\)无实数解，
由①②可得，\(a=0\)，故选\(B\).
分析：由\(a^2-a\neq 2a\)，解得\(a\neq 0\)且\(a\neq 3\).
2、要重视符号语言和文字语言之间的相互转化。
3、集合的运算问题的常用策略：充分利用数轴和韦恩图，数形结合。
失误防范
- 解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系。
- 解答集合题目，认清集合元素的属性(点集，数集，或其他)和化简集合是正确求解的两大先决条件。
- 常用韦恩图示法和数轴图示法解决集合的交、并、补集运算，利用数轴图示法时要注意端点的实心或空心。
- 要注意这五个关系的等价性：
- 题目中出现\(A\subseteq B\)时，常常意味着集合\(A\)有两种情形：\(A=\varnothing\)和\(A\neq \varnothing\)。
\(A\subseteq B\Longleftrightarrow A\cap B=A\)；\(A\subseteq B\Longleftrightarrow A\cup B=B\)；
- 由集合关系求参数的取值范围时，给定\(A\subseteq B\)和\(A\subsetneqq B\)的求解是有区别的，后者常常需要验证排除使得\(A=B\)的参数值。
本来针对\(A\subsetneqq B\)列不等式组时，应该分类讨论，但我们觉得太麻烦，常常直接依照\(A\subseteq B\)来列不等式组，最后添加一个口算验证即可，这样省事的多。
分析：由\(B\subsetneqq A\)，则\(\{x\mid m<x<m+3\}\subsetneqq \{x\mid -4<x<1\}\)，
由题目可先直接得到\(\left\{\begin{array}{l}{-4\leqslant m}\\{m+3\leqslant 1}\end{array}\right.\)，从而解得\(-4\leqslant m\leqslant -2\)，
然后口算验证，当\(m=-4\)时，\(A=(-4,1)\)，\(B=(-4,-1)\)，满足题意，同理当\(m=-2\)时也满足题意，
故\(m\)的取值范围为\([-4，-2]\)。
- 涉及两个集合的关系时，端点值能否取到是个高频易错点。如已知\(B \subseteq A\)，
①当\(A=[-3,1]\)，\(B=[1+2m,m+1]\)时，应该得到\(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即\(m\in [-2,0]\);
②当\(A=(-3,1)\)，\(B=(1+2m,m+1)\)时，应该得到\(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即\(m\in [-2,0]\);
③当\(A=[-3,1]\)，\(B=(1+2m,m+1)\)时，应该得到\(\left\{\begin{array}{l}{-3\leqslant 1+2m}\\{m+1\leqslant 1}\end{array}\right.\)，即\(m\in [-2,0]\);
④当\(A=(-3,1)\)，\(B=[1+2m,m+1]\)时，应该得到\(\left\{\begin{array}{l}{-3< 1+2m}\\{m+1<1}\end{array}\right.\)，即\(m\in (-2,0)\);
